Teorema de Pitágoras

 Origem

O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais conhecidos da matemática. O seu nome vem do matemático e filósofo grego Pitágoras de Samos, embora muitos argumentem que o conhecimento do teorema seja anterior a ele.

Triângulos retângulos

Antes de saber como usar o Teorema de Pitágoras é preciso compreender o que significa um triângulo retângulo, pois o teorema só é válido nessa figura geométrica.

O triângulo retângulo é um triângulo em que um dos ângulos é reto (tem 90º). O lado oposto ao ângulo reto (o maior) é chamado de hipotenusa e os lados adjacentes ao ângulo reto são os catetos.

Fórmula

O teorema afirma que:

"Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos."

"Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos."

Para representar o teorema é utilizada a fórmula a² + b² = c², sendo que c representa a hipotenusa e a e b representam os catetos. Sendo assim, o teorema expressa que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Utilidade

Diagonal do quadrado

A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo  o lado e  a diagonal, segue que:

Finalmente, o comprimento da diagonal é encontrado como:

Altura do triângulo

A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo  o lado e  a altura, segue que:

Finalmente, a altura do triângulo equilátero é encontrada como:

Diagonal do cubo

Considere um cubo com arestas medindo a. A seguir calcula-se a medida de uma das diagonais da face deste cubo. Podemos fazer isso utilizando o Teorema de Pitágoras, pois as faces são todas quadradas (com ângulos de 90º nos vértices).

Neste caso a diagonal da face chama-se $\mathrm{<b><i>d</i></b>}$ (minúsculo) e ela é a hipotenusa do triângulo retângulo:

d² = a² + a²

d² = 2a²

d = √2a²

d = a√2

Porém, agora que estamos no mundo 3D é possível calcular outra diagonal, que se chama diagonal do cubo. A diagonal do cubo é o segmento que liga um vértice do cubo ao vértice oposto, como na figura abaixo:

Neste caso a diagonal do cubo chama-se de D (maiúsculo) e ela está na hipotenusa de um outro triângulo retângulo, cujos catetos medem a e a√2. Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras a este triângulo também:

D² = a² + (a√2)²

D² = a + a² : 2

D² = a² + 2a²

D² = 3a²

D = √3a²

D = a√3

Exercícios:

Exercício 1: Determine o valor de x no triângulo a seguir.

Resolução:

Primeiro vamos identificar a medida dos catetos e da hipotenusa.

• Hipotenusa: 13 cm.

• Catetos: x e 12 cm.

Então, aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:

13² = x² + 12²
169 = x² + 144
169 – 144 = x²
25 = x²
x² = 25
x = √25
x = 5 cm

Exercício 2: Determine o valor de x no triângulo a seguir.

Resolução:

Primeiro vamos identificar os catetos e a hipotenusa do triângulo. Note que x é a hipotenusa e que os catetos medem 1 cm e 1 cm. Então, temos que:

a² = b² + c²
x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
x = √2

Exercício 3: Determine o valor de x no triângulo a seguir.

Resolução

Primeiro vamos identificar os catetos e a hipotenusa do triângulo. Note que x é a hipotenusa e que os catetos medem 7 cm e 24 cm. Então, temos que:

a² = b² + c²
x² = 7² + 24²
x² = 49 + 576
x² = 625
x = √625
x = 25 cm

Exercício 4: Determine o valor de x no triângulo a seguir.

Resolução

Primeiro vamos identificar a medida dos catetos e da hipotenusa.

• Hipotenusa: 10 cm.

• Catetos: b e 8 cm.

Então, aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:

10² = b² + 8²
100 = b² + 64
100 – 64 = b²
36 = b²
b² = 36
b = √36
b = 6 cm

Curiosidade

Em Aubervilliers, nos subúrbios de Paris, uma professora de matemática chamada Claire deparou-se com o problema que a maioria dos professores de matemática têm: atrair o interesse dos alunos pela disciplina. Claire decidiu partilhar no Twitter alguns exercícios que propôs aos seus alunos e o exercício que mais motivou o interesse e comentários foi aquele em que o dab de Pogba é utilizado para resolver um exercício sobre o Teorema de Pitágoras. A solução foi bastante original e chamou a atenção de milhares de internautas no Twitter.

Bibliografia/referências:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

https://matika.com.br/cubo-e-paralelepipedo/como-calcular-a-diagonal-do-cubo

https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-pitagoras.htm

https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/teorema-de-pitagoras.htm

https://www.dn.pt/desporto/o-teorema-de-pitagoras-explicado-por-pogba-e-cristiano-ronaldo-5499775.html 

Trabalho realizado por: Bruna Oliveira nº5 e Daniela Couto nº8